摘要：众所周知，研究逐点收敛的函数数列的勒贝格积分时，积分号和逐点收敛的极限号并不是随意交换的.控制收敛定理告诉我们，若逐点收敛的函数列的每一项都能被同一个勒贝格可积的函数“控制”（也就是说对变量取任意一个值，这个函数的绝对值都小于另一个函数），则函数列的极限函数的勒贝格积分等于函数列中每个函数的勒贝格积分的极限.类似的问题在数学分析中也会出现，即黎曼积分中的积分与极限不能随意交换次序.在数学分析中，“控制函数”这一说法还没明确提出来.

本论文通过对控制收敛定理在数学分析中体现的研究，有助于我们对实变函数与泛函分析更好的理解，对于知识交叉处有更深的认识和掌握,同时学会解决问题的办法，并且拓宽了数学思维和视野.

关键词：积分与极限,可积函数,黎曼积分,控制收敛

目录

摘要

ABSTRACT

1 引言-1

2黎曼积分-1

2.1黎曼积分的基本概念-1

2.2不可积函数的举例-2

2.3积分与极限交换次序的条件-3

3勒贝格积分-4

3.1勒贝格积分的基本概念-4

3.2勒贝格积分的优越性-6

4控制收敛定理-8

 4.1控制收敛定理的内容-8

 4.2可积的控制函数-9

 4.3控制收敛定理在数学分析中的体现-10

   4.3.1判断级数的收敛-10

   4.3.2极限与积分的问题-12

   4.3.3积分的和的问题-14

5本文总结-16

6参考文献-17

7致谢-18