摘要:近几十年，非线性发展方程由于它独有的优势，在等离子体物理和流体力学，以及非线性光学等众多领域被广泛的应用. 在孤子理论体系中关于非线性发展方程的研究中，精确解求取一直以来都是个非常重要的问题. 在众多的方法里面，Hirota方法是一种直观简便的方法. Hirota双线性方法从诞生之日起,在各类非线性发展方程的求解中大展身手,而且被证实是一种高效和实用的方法. 

本论文利用Hirota所提出的双线性方法，研究了若干非线性发展方程的求解问题，如KdV、非线性Schrödinger(NLS)、AKNS、Boussinesq、2-位势Ablowitz-Ladik方程等. 利用符号计算,求得了这些方程的单孤子解、双孤子解以及N孤子解. 

本文章节内容安排如下:-

第一章首先介绍了非线性发展方程里面关于孤子解的一些基本知识,其中既回顾了孤立子的历史，也讲述了孤子解的所常用的一些构造方法. 

    第二章讲解了Hirota双线性方法的必备知识,其中重点部分讲述了双线性导数的定义和它的一些重要的基本性质. 

    第三章运用Hirota双线性方法去求解KdV、NLS、AKNS、Boussinesq和2-位势Ablowitz-Ladik方程的单孤子解、双孤子解并推导出N孤子解的一般表达式. 

关键词： Hirota双线性方法；非线性发展方程；孤子解

目录

摘要

Abstract

1 绪论-1

1.1 孤立子的历史背景-1

1.2 孤子解的常用构造方法-2

1.2.1 双线性方法-2

1.2.2 朗斯基技巧-2

2双线性方法基础-4

2.1双线性导数的定义-4

2.2双线性导数的基本性质-4

3双线性方法求解-5

3.1 KdV方程求解-5

3.1.1 KdV方程的单孤子解-5

3.1.2 KdV方程的双孤子解-6

3.1.3 KdV方程的孤子解-6

3.2 非线性Schrödinger方程求解-7

3.2.1 NLS方程的单孤子解-7

3.2.2 NLS方程的双孤子解-8

3.2.3 NLS方程的孤子解-8

3.3 AKNS方程求解-9

3.3.1 AKNS方程的单孤子解-9

3.3.2 AKNS方程的双孤子解-10

3.3.3 AKNS方程的孤子解-11

3.4 Boussinesq方程求解-11

3.4.1 Boussinesq方程的单孤子解-11

3.4.2 Boussinesq方程的双孤子解-12

3.4.3 Boussinesq方程的孤子解-13

3.5 2-位势Ablowitz-Ladik方程求解-13

3.5.1 2-位势Ablowitz-Ladik方程的单孤子解-13

3.5.2 2-位势Ablowitz-Ladik方程的双孤子解-14

3.5.3 2-位势Ablowitz-Ladik方程的孤子解-15

结论-16

致谢-17

参考文献-18