摘要:自然界中存在大量的不等关系，它跟我们的生活息息相关。不等关系在数学中十分常见，它的地位也是至关重要。不等式问题覆盖面广、综合性强，是当今各层次数学竞赛的热点和难点，而不等式问题的处理更以“多入口，方法巧”见长。经研究发现，很多问题都能采用柯西不等式简单地解决。

    本文诠释了柯西不等式及其推论、变形、推广和积分形式，针对柯西不等式的证明本文使用了7种不同方法。在柯西不等式的应用方面，使用了拆分常数、改变结构、重新排列等方法，构造出柯西不等式的条件，达到使用柯西不等式解决有关问题的目的。从而探讨了柯西不等式在证明不等式、等式，求最值，解析几何，求参数范围，解方程，解函数，几何问题上的应用。通过这些应用阐述柯西不等式的灵活性和重要性，突出使用柯西不等式的前提条件。针对柯西不等式在高考题和竞赛题中大量使用，本文也列举了几个典型的例子，体现柯西不等式的重要性。

关键词  柯西不等式；拆分常数；构造条件；不等关系

目录

摘要

Abstract

1绪论-1

1.1 研究意义-1

1.2 国内外研究现状-1

1.3 本文解决的主要问题和使用方法-2

2 柯西不等式的诠释-3

2.1 柯西不等式-3

2.2 柯西不等式的推论-3

2.3 柯西不等式的变形-4

2.4 柯西不等式的推广-5

2.5 柯西不等式的积分形式-6

3柯西不等式的证明-7

3.1 配方法-7

3.2 判别式法-7

3.3 数学归纳法-8

3.4 运用基本不等式-9

3.5 运用推广不等式-10

3.6 利用二次型-10

3.7 利用向量内积-11

4 柯西不等式的应用-12

4.1 在证明不等式方面的应用-12

4.2 在证明等式方面的应用-14

4.3 在求最值方面的应用-16

4.4 在解析几何方面的应用-18

4.5 在求参数范围问题中的应用-21

4.6 在解方程问题中的应用-21

4.7 在解函数问题中的应用-22

4.8 在几何上的应用-22

4.9 在实际问题中的应用-24

结论-26

致谢-27

参考文献-28