摘要：在科学计算与工程应用中，如石油工业、偏微分方程数值解、图像处理等，很多问题的解决方法最终会归结为大规模矩阵方程的解. 而且在各类实际生活的问题的解决上，如力学、电路、热传导等，许多模型也是基于线性矩阵方程的构建. 因此，研究矩阵方程的求解方法和技巧是科学计算领域中一个重要课题.

本文主要是分多层次从易到难的对线性矩阵方程的求解方法做了研究和讨论，并对几种常见的解决方法做出了宏观介绍. 例如：初等变换法、分块矩阵法、待定元素法、数值迭代方法等. 此处可以根据系数矩阵是否可逆、方程组规模的大小等，对采取何种方法上做更优的选择. 对于非线性矩阵方程，主要考虑了不动点迭代法、Newton 迭代法来求解. 在求解方法的介绍的基础上，还给出了多个数值例子以便于理解.

关键词：线性矩阵方程；迭代法；数值解

目录

摘要

Abstract

1 引言-5

1.1 研究背景及意义-5

1.2 文献综述-5

1. 3 本文的主要工作和内容安排-6

1. 3. 1 主要工作-6

1. 3. 2 内容安排-6

2 求解简单矩阵方程-7

2.1 初等变换法-7

2.1.1 基本定理及推导-7

2.1.2 数值例子-8

2.2 分块矩阵法-9

2.2.1 形如 Amn X ns   Bms 的情况-9

2.2.2 形如-X mn Ann   Bmn 的情况-10

2.3 技巧补充及总结-11

2.3.1 系数矩阵可逆的矩阵方程-11

2.3.2 系数矩阵矩阵不可逆的矩阵方程-12

3 求解一类线性方程组的迭代方法-13

3.1 古典迭代法-13

3.1.1 雅可比迭代法-13

3.1.2 高斯赛德迭代法-15

3.1.3SOR 迭代法-15

3.2 数值例子-15

4 求解非线性矩阵方程组-17

4.1 收敛性定理-17

4. 2 数值例子-17

5 总结与展望-18

5. 1 本文总结-18

5. 2 研究展望-19

参考文献-19

致谢-20