摘要:关于一元函数的极限的研究,在现行的数学分析教科书中都有比较系统的研究.但是对于多元函数的极限,现行的数学分析教科书只是将多元函数极限计算作为一元函数极限计算方法的推广,没有作系统的研究,且多元函数极限计算及极限不存在的讨论举例很少.由于自变量个数的增加,多元函数的极限比一元函数极限变得要复杂得多,因此多元函数极限的计算及极限存在性的相关研究一直是数学研究工作者探讨的热点问题.

本文主要探讨了以下两个问题：

1、在一元函数极限计算法则和方法的基础上,将一元函数求极限的法则和方法全面、系统地推广到多元函数的极限(重点是二元函数的极限).在前人研究成果的基础上,系统地总结归纳了多元函数的极限常用的方法,概括起来可以分为初等方法和洛必达法则两大类,其中初等方法又细分为七种.每一种法则和方法均配备了相应的例题,有些情况下还对该法则和方法的应用作了相应的说明.对于多元函数的洛必达法则,在给出法则的同时,并通过例子说明了法则的应用,特别地还给出了通过变量变换转化为用一元函数的洛必达法则求解多元函数极限的例子.

2、根据多元函数极限的定义,总结了判别多元函数极限不存在性的若干路径的选择方法：直线路径、二次曲线路径、极坐标路径、分式曲线路径、混合路线等.

关键词： 多元函数；极限；洛比达法则；不存在；路径选择

目录

摘要

Abstract

1 绪论-1

1.1 研究背景-1

1.2 研究意义-1

1.3 主要工作-1

2 多元函数极限的解法-2

2.1 二元函数极限的定义-2

2.2 多元函数求极限的初等方法-2

2.2.1 二元函数极限的四则运算法则-2

2.2.2 多元复合函数极限的运算法则-3

2.2.3 利用多元函数的连续性求极限-4

2.2.4 利用夹逼定理求极限-6

2.2.5 利用两个重要极限求极限-8

2.2.6 利用无穷小的运算性质求极限-9

2.2.7 利用等价无穷小代换求极限-10

2.3 多元函数极限的洛必达法则-13

2.3.1 利用洛比达法则求型或型二元函数极限-13

2.3.2 利用洛比达法则求、型二元函数极限-17

2.3.3 利用洛比达法则求、或型二元函数极限-19

3 多元函数极限不存在性的研究-21

3.1 多元函数极限的定义-21

3.2 多元函数极限不存在性的判别方法-21

3.2.1 直线路径-21

3.2.2 二次曲线路径-22

3.2.3 极坐标路径-23

3.2.4 分式曲线路径-23

3.2.5 多种混合路径-24

结论-25

致谢-26

参考文献-27