摘要  有限差分方法常用于求解微分方程的数值解，而高阶差分格式在数值计算中有着非常重要的地位。Taylor级数的应用非常广泛，在数值微分中有着非常重要的作用，尤其是在获得截断误差的过程中。

本文介绍了Taylor级数、差分以及差分公式收敛阶的相关定义，以3阶、4阶、6阶差分格式为例，给出了利用Taylor展开式构造对应差分格式的详细过程，并归纳总结一般高阶差分格式的构造方法。最后给出了高阶差分格式的两个具体应用实例，利用高阶、低阶差分格式求解常微分方程的数值解，并对结果进行分析，验证高阶差分格式的高效性,以及介绍了如何在具体的二阶的偏微分方程中构造出高阶差分格式的过程。

    关键词：Taylor级数  高阶差分格式  常微分方程  偏微分方程

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摘要

Abstract

1 绪论-1

2 高阶差分格式-2

2.1 基本理论-2

2.1.1 泰勒级数-2

2.1.2 差分及差分格式-2

2.1.3 三个经典差商公式近似一阶导数-2

2.2.1 三阶精度差分公式-3

2.2.2 四阶差分格式-5

2.2.3 六阶精度差分公式-7

2.2.4 任意阶差分格式-9

2.3 二阶以及三阶导数的高阶差分格式-10

2.3.1 基本方法介绍-10

2.3.2 近似二阶导数的二阶差分格式-10

2.3.3 近似三阶导数的一阶差分格式-11

2.3.4近似三阶导数的二阶差分格式-12

3 高阶差分格式的应用-14

3.1线性常微分初值中的应用-14

3.1.1 基础理论-14

3.1.2 数值算例-14

3.2 偏微分方程中的应用-18

3.2.1 基本理论-18

3.2.2 例题-19

结论-21

参考文献-22

致谢-23