摘要:本篇论文首先对正交矩阵的基础知识进行了全面详细的总结。包括其定义、性质、判定定理以及与其他矩阵的关系等。然后结合正交矩阵的基础知识对正交矩阵进行了进一步的探究，利用欧氏空间的理论得出了正交矩阵的子式的性质，并从代数余子式、相似形、特征向量等方面刻画正交矩阵，同时，研究正交矩阵的对角化问题。由于它的一些特殊的性质，使得它在不同的领域都有着广泛的作用，所以本文从正交矩阵的最主要的性质入手，对正交矩阵的应用做了一些简单的研究，这里只涉及到了在线性代数和近世代数中的一点应用。接着是对正交矩阵的相似标准形做的一些研究，通过二阶正交矩阵这一简单正交矩阵的相似标准形，推广到所有的正交矩阵，然后对推广的结论进行了相应的证明。不同的正交矩阵的相似标准形有着不同的形式，因此最后一部分对几种特殊的正交矩阵的相似标准形在实数域内进行了深入的研究，构造了其相似标准形，并给予了证明。

关键词  正交矩阵；相似标准形；实矩阵

目录

摘要

Abstract

1正交矩阵的基础知识-1

1.1正交矩阵的定义-1

1.2正交矩阵的判定-1

1.3正交矩阵的特征-1

1.4正交矩阵与特殊矩阵的关系-2

1.4.1 正交矩阵与上（下）三角矩阵的关系-2

1.4.2 正交矩阵的可对角化-3

1.4.3 正交矩阵与对称矩阵的关系-3

2正交矩阵的进一步探究及应用-5

2.1 正交矩阵的进一步探究-5

2.2 正交矩阵的作用-8

2.2.1正交矩阵在线性代数中的作用-8

2.2.2 正交矩阵在拓扑和近世代数中的作用-12

2.3 正交矩阵的相关习题-15

3正交矩阵的相似标准形-20

3.1 矩阵相似标准形的定义-20

3.2 正交矩阵的相似标准形-20

4特殊正交矩阵的相似标准形的构造-22

4.1 实对称正交矩阵的相似标准形-22

4.2 实反对称正交矩阵的相似标准形-22

4.3 上（下）三角正交矩阵的相似标准形-24

结论-26

致谢-27

参考文献-28