摘要:变系数微分方程在各应用学科中起到了至关重要的作用，如物理学，机械工程和凝聚态物理等。在近期的发展中，关于变系数微分方程对称性的分析和精确解的构造成为科学家们研究的热点课题。

    本论文以孤子理论为指导，以符号计算软件为辅助工具进行课题研究，利用楼直接主要研究了两个(1+1)-维变系数微分方程的求解。

    本篇论文第一章概述了孤子产生的背景和发展概况；第二章主要介绍非线性微分方程及求解方法如反散射方法，Darboux 变换法和Bcklund 变换法、Lie群方法等；最后一章利用楼直接方法研究了(1+1)-维变系数KdV方程和(1+1)-维变系数修正的KdV方程，并给出这两个方程的对称变换和精确解。

关键字：精确解；孤子理论；楼直接法；变系数微分方程

目录

摘要

Abstract

1 绪论-1

1.1 孤子产生背景和发展概况-1

2 非线性微分方程及求解方法-4

2.1 非线性系统简介-4

2.2 变系数微分方程-5

2.3 非线性微分方程的求解方法-5

3 两个(1+1)-维变系数微分方程的对称变换和精确解-9

3.1 楼直接方法简介-9

3.2 (1+1)-维变系数KdV方程的对称换和精确解-9

3.3 (1+1)-维修正的变系数KdV方程的对称变换和精确解-13

结    论-16

参 考 文 献-17

致    谢-19