摘要：微分差分方程中有一类经典的可积方程，即Ablowitz-Ladik(AL)方程. 该方程自从被提出后，就得到了众多领域专家的浓厚兴趣和广泛关注.

本文结构如下:

1．第一章介绍孤立子的历史及现状和求解孤子方程的方法．

2．第二章首先叙述双线性导数的概念及必要性质，接着给出双Wronski行列式的若干恒等式．

3．第三章回顾负向AL方程的双线性导数方程及其双Casorati解.

4．第四章通过对位势的变换，给出正向AL方程的双线性导数方程, 借助双Wronski技巧构造出该方程的双Casorati解，并验证其与Hirota直接方法求出的孤子解的一致性.

关键词  双线性形式；双Wronski行列式；Ablowitz-Ladik方程；双Casorati解

目录

摘要

Abstract

1 绪论-1

1.1 孤立子理论的历史背景-1

1.2 孤子方程常见的求解方法-1

1.2.1 Hirota变换-1

1.2.2 Wronski技巧-2

1.3 Ablowitz-Ladik系统-2

2 预备知识-3

2.1 双线性导数的定义及其性质-3

2.2 双Wronski行列式及其性质-3

2.2.1 双Wronski行列式的定义-3

2.2.2 双Wronski行列式的性质-4

3负向Ablowitz-Ladik方程的双Casorati解-5

3.1 双Casorati解-5

3.1.1 双线性导数方程-5

3.1.2 双Casorati解及其验证-5

3.2 双Casorati解与孤子解的一致性-8

4 正向Ablowitz-Ladik方程的双Casorati解-13

4.1 双Casorati解-13

4.1.1 双线性导数方程-13

4.1.2 双Casorati解及其验证-13

4.2 双Casorati解与多孤子解的一致性-16

4.2.1 单孤子解的一致性-16

4.2.2 双孤子解的一致性-19

4.2.3 三孤子解的一致性-21

4.2.4 四孤子解的一致性-22

结论-23

致谢-24

参考文献-25