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摘要:函数项级数是数学分析中非常重要的内容,它将极限理论与级数理论联系起来,因此也是数学分析的一大难点。本文主要研究函数项级数一致收敛的问题,给出判别函数项级数一致收敛的一些方法,如定义法、一致收敛的柯西准则、余项法、M判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法等。通过对这些方法进行梳理归纳,并且呈现具体的题目,帮助读者更深入地理解函数项级数,从而可以有效地解决灵活多变的题目。同时以一类最简单的函数项级数—幂级数为例,介绍幂级数在高等数学中的一些应用,如利用幂级数展开式求极限,这里对常用的幂级数展开式必须熟记于心,我们会发现级数理论是求极限一个强有力的工具。此外,还可以利用幂级数求积求导,进行近似计算等。函数项级数理论的发展,使得数学世界更加精彩,更加有趣。
关键词:函数项级数;一致收敛 ;幂级数
目录
摘要
ABSTRACT
一 引言-1
二 函数项级数基本概念-2
三 判别函数项级数一致收敛的方法-5
3.1 定义法-5
3.2 Cauchy收敛准则-6
3.3 放大法-7
3.4 M判别法(魏尔斯特拉斯判别法)-8
3.5 阿贝尔判别法-9
3.6 狄利克雷判别法-10
3.7 狄尼判别法-11
四 应用-12
4.1 在求和中的应用-12
4.2 在求极限中的应用-13
4.3 在求导中的应用-14
4.4 在求积分中的应用-14
4.5 在近似计算中的应用-15
4.6 在证明不等式中的应用-15
参考文献-17
致谢-18