摘要:不等式同等式一样，在数学问题中都是有着十分重要且广泛应用的课题，导数是数学学科中十分重要的一部分,无论是在基础数学还是在高等数学中,尤其是在高等数学中对不等式的证明更是有着很大的作用。因此,我们在证明不等式的过程中都可以通过利用导数的方式进行证明,不等式证明贯穿于小学以及中学数学教学，而其证明方法随着学生们知识的增加，也出现了很大的差异。不等式的证明方法一般来说，都会采用分析的方法、综合的方法、构造的方法、归纳的方法、放缩的方法、比较的方法还有反证的方法，利用这几类的方法来证明推理。在数学分析的课程中，不等式是用来证明定理与公式的工具，不等式的证明蕴涵着许多数学分析当中的技巧。

本文针对函数的单调性、函数的凹凸性、函数的最值、泰勒公式、微分中值定理在不等式的证明中的应用进行了详细的归纳与汇总，用此来说明导数在不等式证明中的应用是十分重要的。

关键词：导数；函数；泰勒公式；微分中值定理

目录

摘要

Abstract

绪论-1

1导数的相关理论-2

1.1导数及偏导数的定义-2

1.1.1导数的定义-2

1.1.2偏导数的定义-2

 1.2导数及偏导数的几何意义-2

 1.2.1导数的几何意义-2

1.2.2偏导数的几何意义-3

1.3函数的可导性与连续性-3

 1.3.1一元函数的可导与连续的关系-3

1.3.2多元函数的可导与连续的关系-4

1.4基本初等函数的导数公式-4

1.5导数的四则运算法则-4

1.6复合函数的求导法则-4

1.6.1一元函数复合函数求导法则-4

1.6.2多元函数复合函数求导法则-4

1.7反函数求导法则-5

1.8高阶导数-5

1.8.1一元函数高阶导数-5

1.8.2多元函数高阶导数-5

1.9隐函数的导数-6

2利用函数的性质证明不等式-7

 2.1利用函数的单调性证明不等式-7

2.1.1函数的单调性-7

2.1.2单调性在不等式中的应用-7

 2.2利用函数的凹凸性证明不等式-8

2.2.1函数的凹凸性-8

2.2.2凹凸性在不等式中的应用-9

 2.3利用函数的最值证明不等式-11

2.3.1函数的最值与极值-11

2.3.2最值在不等式中的应用-11

3利用中值定理证明不等式-14

 3.1利用泰勒公式证明不等式-14

3.1.1泰勒公式-14

3.1.2泰勒公式在不等式中的应用-15

 3.2 利用微分中值定理证明不等式-15

3.2.1微分中值定理-16

3.2.2中值定理在不等式中的应用-17

结论-20

参考文献-21

致谢-22