摘要：函数是一种广泛应用于生活中的数学手段.本文将首先介绍实数空间，度量空间，拓扑空间的区别与联系，并由不同空间的联系对不同空间下函数性质的联系做出猜想，其次介绍函数在不同空间下的表现形式，最后着力于探讨关于函数在不同空间下的性质，寻找这些性质所具有的共同点，以此证明猜想.同时，本文将运用实例说明函数性质与具体应用.

关键词：函数，实数空间，度量空间，拓扑空间，连续.

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摘要

Abstract

1 引言 1

2 不同空间的定义与联系 2

2.1 实数空间 2

2.2 度量空间 2

2.3 拓扑空间 4

2.4 三种空间的联系 7

3 不同空间下的函数性质与联系 7

  3.1 实数空间的性质 7

  3.2 拓扑空间的性质 10

  3.3 度量空间的性质 13

  3.4 性质的联系与应用 16

参考文献   17