摘要:解析函数展开成洛朗级数由于其重要作用，一直是复变函数研究领域的一个难点。本课题的主要研究内容是归纳总结已有方法并加以应用，并在已有方法的基础上给出解析函数展开成洛朗级数的新方法，并对新方法进行严格证明和应用。现有方法包括直接展法和间接展法。本文所列直接展开法为利用洛朗级数公式进行展开，间接展开法包括公式法、变量代换法、部分分式法和逐项求导、积分法。在幂级数的待定系数法和幂级数的除法的基础上，给出了洛朗级数的待定系数法和用洛朗级数除法求解析函数展开式的方法，主要结论为三个引理和一个定理，并对引理和定理进行了证明。最后给出解析函数洛朗级数展开式在三方面的应用：级数的求和、求留数和计算积分。

关键词  解析函数；洛朗级数；直接法；间接法；除法；待定系数法

目录

摘要

Abstract

1 绪论-1

1.1 课题的背景及意义-1

1.2预备知识-1

1.2.1 洛朗级数相关知识-1

1.2.2 解析函数的泰勒展式和洛朗展式-5

1.2.3复连通区域上的柯西积分公式-5

1.3本文的主要工作-6

2 解析函数展开成Laurent级数的方法-7

2.1方法分析-7

2.2直接展开法-7

2.3间接展开法-7

2.3.1公式法-8

2.3.2代换法-9

2.3.3部分分式法-10

2.3.4逐项求导、积分法-11

3 解析函数展开成Laurent级数的新方法-12

3.1 待定系数法-12

3.2洛朗级数的除法求函数的洛朗展开式-13

4解析函数级数展开式的一些应用-17

4.1求级数的和-17

4.2求留数-18

4.3求积分-19

结论-20

致谢-21

参考文献-22

附录-23