摘要:本文主要是关于变分法在哈密顿系统的周期解中的应用。

第一章主要介绍了变分法和之后在问题中所应用到的基本知识，例如：下半连续、凸函数、变分法的基本定理及欧拉方程等。

第二章介绍了芬切尔变换及对偶的相关内容,芬切尔变换用仿射的弱函数代替Legendre变换的切超平面，而且相应的函数不再是光滑凸，从而推广了Legendre变换，还介绍了Hamilton对偶的相关理论。

第三章讨论了变分法在几类哈密顿系统的周期解中的应用，3.1节中介绍了简单的线性周期问题的解；3.2节是关于周期解存在的一些定理，3.3节之后是简单的介绍了不同哈密顿系统的周期解问题。 

关键词 变分法；哈密顿系统；周期解

目录

摘要

Abstract

1 绪论-1

1.1泛函的概念-1

1.1.1泛函极值问题-1

1.1.2泛函的变分-1

1.2泛函极值的相关结论-2

1.2.1泛函极值的变分表示-2

1.2.2泛函极值的必要条件-2

1.3相关基础知识-3

1.3.1基本定义及定理-3

1.4周期边值条件的变分学-5

2 芬切尔变换和对偶-9

2.1引言-9

2.2芬切尔变换的定义-10

2.3 Hamilton对偶-12

3 变分法在哈密顿系统的周期解中的应用-14

3.1带周期边值条件的特征值和特征函数-14

3.2凸哈密顿系统周期解的存在性定理-15

3.3非自治凸哈密顿系统的下调和性-19

3.4自控凸哈密顿系统关于指定最小周期的周期解-19

3.5自治哈密顿系统在给定能量下的周期解-20

3.6带有凸位势的二阶非自治系统的周期解-21

3.7非自治二阶系统对偶极小作用原理的变分-22

结论-24

致谢-25

参考文献-26